
\prob{0070}{二元四次方程组}

求方程组

\[ \begin{cases}
  2x + xy + 2y = 4 \\
  4x^2 + x^2y^2 + 4y^2 = 272 \\
\end{cases} \]

的实数解。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$\begin{cases}
  x = 3\pm\sqrt{17} \\
  y = 3\mp\sqrt{17} \\
\end{cases}$}

\subsection{换元法}

基本思路：换元$p = x + y, q = xy$，然后求解$p, q$。

令$p = x + y, q = xy$，则有

\[ \begin{cases}
  2p + q = 4 \\
  4p^2 - 8q + q^2 = 272 \\
\end{cases} \]

由前式知

\[ p = \frac{4 - q}2 \]

代入后式得

\begin{align*}
  4\left(\frac{4 - q}2\right)^2 - 8q + q^2 &= 272 \\
  q^2 - 8q - 128 &= 0 \\
\end{align*}

解得$q = -8$或$q = 16$。

当$q = -8$时，$p = 6$，即

\[ \begin{cases}
  xy = -8 \\
  x + y = 6 \\
\end{cases} \]

解得

\[ \begin{cases}
  x = 3\pm\sqrt{17} \\
  y = 3\mp\sqrt{17} \\
\end{cases} \]

当$q = 16$时，$p = -4$，即

\[ \begin{cases}
  xy = 16 \\
  x + y = -4 \\
\end{cases} \]

无解。故原方程组解为

\[ \begin{cases}
  x = 3\pm\sqrt{17} \\
  y = 3\mp\sqrt{17} \\
\end{cases} \]
